更新分类题解列表

itcharge · itcharge · commit 46c2a10d2221 · 2023-05-05T16:53:53.000+08:00
diff --git a/Assets/Origins/Categories-List.md b/Assets/Origins/Categories-List.md
@@ -201,7 +201,7 @@
 
 ### [图的拓扑排序题目](../../Contents/08.Graph/02.Graph-Traversal/06.Graph-Topological-Sorting-List.md)
 
-###### 0210. 课程表 II、0802. 找到最终的安全状态、0851. 喧闹和富有
+###### 0207. 课程表、0210. 课程表 II、0802. 找到最终的安全状态、0851. 喧闹和富有
 
 ### [图的生成树题目](../../Contents/08.Graph/03.Gaph-Spanning-Tree/04.Gaph-Spanning-Tree-List.md)
 
diff --git a/Contents/00.Introduction/05.Categories-List.md b/Contents/00.Introduction/05.Categories-List.md
@@ -642,6 +642,7 @@
 
 | 题号 | 标题 | 题解 | 标签 | 难度 |
 | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ |
+| 0207 | [课程表](https://leetcode.cn/problems/course-schedule/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0207.%20%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E8%A1%A8.md) | 深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序 | 中等 |
 | 0210 | [课程表 II](https://leetcode.cn/problems/course-schedule-ii/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0210.%20%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E8%A1%A8%20II.md) | 深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序 | 中等 |
 | 0802 | [找到最终的安全状态](https://leetcode.cn/problems/find-eventual-safe-states/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0802.%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E7%BB%88%E7%9A%84%E5%AE%89%E5%85%A8%E7%8A%B6%E6%80%81.md) | 深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序 | 中等 |
 | 0851 | [喧闹和富有](https://leetcode.cn/problems/loud-and-rich/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0851.%20%E5%96%A7%E9%97%B9%E5%92%8C%E5%AF%8C%E6%9C%89.md) | 深度优先搜索、图、拓扑排序、数组 | 中等 |
diff --git a/Contents/08.Graph/02.Graph-Traversal/05.Graph-Topological-Sorting.md b/Contents/08.Graph/02.Graph-Traversal/05.Graph-Topological-Sorting.md
@@ -10,41 +10,334 @@
 
 ## 2. 拓扑排序的实现方法
 
-拓扑排序有两种实现方法，分别是 Kahn 算法和 DFS 深度优先搜索算法。接下来我们依次来看下它们是如何实现的。
+拓扑排序有两种实现方法，分别是「Kahn 算法」和「DFS 深度优先搜索算法」。接下来我们依次来看下它们是如何实现的。
 
 ### 2.1 Kahn 算法
 
+> **Kahn 算法的基本思想**：
+
 #### 2.1.1 Kahn 算法的实现步骤
 
 1. 使用数组 $indegrees$ 用于记录图中各个顶点的入度。
 2. 维护一个入度为 $0$ 的顶点集合 $S$（可使用栈、队列、优先队列）。
 3. 每次从集合中选择任何一个没有前驱（即入度为 $0$）的顶点 $u$，将其输出到拓扑序列 $order$ 中。
 4. 从图中删除该顶点 $u$，并且删除从该顶点出发的有向边 $<u, v>$（也就是把该顶点可达的顶点入度都减 $1$）。如果删除该边后顶点 $v$ 的入度变为 $0$，则将顶点 $v$ 放入集合 $S$ 中。
-5. 重复上述过程，直到集合 $S$ 为空。
-6. 检测图中是否存在任何边，如果有，则该图一定存在环路。否则 $order$ 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。
+5. 重复上述过程，直到集合 $S$ 为空，或者图中还有顶点未被访问（说明一定存在环路，无法形成拓扑序列）。
+6. 如果不存在环路，则 $order$ 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。
 
 #### 2.1.2 Kahn 算法的实现代码
 
 ```Python
+import collections
 
+class Solution:
+    # 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
+    def topologicalSortingKahn(self, graph: dict):
+        indegrees = {u: 0 for u in graph}   # indegrees 用于记录所有顶点入度
+        for u in graph:
+            for v in graph[u]:
+                indegrees[v] += 1           # 统计所有顶点入度
+        
+        # 将入度为 0 的顶点存入集合 S 中
+        S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
+        order = []                          # order 用于存储拓扑序列
+        
+        while S:
+            u = S.pop()                     # 从集合中选择一个没有前驱的顶点 0
+            order.append(u)                 # 将其输出到拓扑序列 order 中
+            for v in graph[u]:              # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
+                indegrees[v] -= 1           # 删除从顶点 u 出发的有向边
+                if indegrees[v] == 0:       # 如果删除该边后顶点 v 的入度变为 0
+                    S.append(v)             # 将其放入集合 S 中
+        
+        if len(indegrees) != len(order):    # 还有顶点未遍历（存在环），无法构成拓扑序列
+            return []
+        return order                        # 返回拓扑序列
+    
+    
+    def findOrder(self, n: int, edges):
+        # 构建图
+        graph = dict()
+        for i in range(n):
+            graph[i] = []
+            
+        for u, v in edges:
+            graph[u].append(v)
+            
+        return self.topologicalSortingKahn(graph)
 ```
 
-### 2.2 DFS 深度优先搜索算法
+### 2.2 基于 DFS 实现拓扑排序算法
+
+> **基于 DFS 实现拓扑排序算法的基本思想**：
+>
+> 1. 对于一个顶点 $u$，深度游先生遍历从该顶点出发的有向边 $<u, v>$。如果从该顶点 $u$ 出发的所有相邻顶点 $v$ 都已经搜索完毕，则在搜索回溯到顶点 $u$ 时，$u$ 本身也会编程一个已经搜索完的顶点。
+> 2. 在拓扑排序的序列中，该顶点 $u$ 位于其所有相邻顶点 $v$ 的前面。
+> 3. 这样一来，我们对每个顶点进行回溯时，将其放入栈中，则最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。
 
-#### 2.2.1 DFS 深度优先搜索算法实现步骤
+#### 2.2.1 基于 DFS 实现拓扑排序算法实现步骤
 
-1. 以任意顺序循环遍历图中的每个顶点，将其输出到拓扑序列中。
-2. 如果搜索时遇到之前已经遇到的顶点，或者碰到叶节点，则中止算法。
+1. 使用集合 $visited$ 用于记录当前顶点是否被访问过，避免重复访问。
+2. 使用集合 $onStack$ 用于记录同一次深度优先搜索时，当前顶点是否被访问过。如果当前顶点被访问过，则说明图中存在环路，无法构成拓扑序列。
+3. 使用布尔变量 $hasCycle$ 用于判断图中是否存在环。
+4. 从任意一个未被访问的顶点 $u$ 出发。
+   1. 如果顶点 $u$ 在同一次深度优先搜索时被访问过，则说明存在环。
+   2. 如果当前顶点被访问或者有环时，则无需再继续遍历，直接返回。
+
+5. 将顶点 $u$ 标记为被访问过，并在本次深度优先搜索中标记为访问过。然后深度游先生遍历从顶点 $u$ 出发的有向边 $<u, v>$。
+6. 当顶点 $u$ 的所有相邻顶点 $v$ 都被访问后，回溯前记录当前节点 $u$（将当前节点 $u$ 输出到拓扑序列 $order$ 中）。
+7. 取消本次深度优先搜索时，顶点 $u$ 的访问标记。
+8. 对其他未被访问的顶点重复 $4 \sim 7$ 步过程，直到所有节点都遍历完，或者出现环。
+9. 如果不存在环路，则将 $order$ 逆序排序后，顶点的顺序就是拓扑排序的结果。
 
 #### 2.2.2 DFS 深度优先搜索算法实现代码
 
 ```Python
+import collections
 
+class Solution:
+    # 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
+    def topologicalSortingDFS(self, graph: dict):
+        visited = set()                     # 记录当前顶点是否被访问过
+        onStack = set()                     # 记录同一次深搜时，当前顶点是否被访问过
+        order = []                          # 用于存储拓扑序列
+        hasCycle = False                    # 用于判断是否存在环
+        
+        def dfs(u):
+            nonlocal hasCycle
+            if u in onStack:                # 同一次深度优先搜索时，当前顶点被访问过，说明存在环
+                hasCycle = True
+            if u in visited or hasCycle:    # 当前节点被访问或者有环时直接返回
+                return
+            
+            visited.add(u)                  # 标记节点被访问
+            onStack.add(u)                  # 标记本次深搜时，当前顶点被访问
+    
+            for v in graph[u]:              # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
+                dfs(v)                      # 递归访问节点 v
+                    
+            order.append(u)                 # 后序遍历顺序访问节点 u
+            onStack.remove(u)               # 取消本次深搜时的 顶点访问标记
+        
+        for u in graph:
+            if u not in visited:
+                dfs(u)                      # 递归遍历未访问节点 u
+        
+        if hasCycle:                        # 判断是否存在环
+            return []                       # 存在环，无法构成拓扑序列
+        order.reverse()                     # 将后序遍历转为拓扑排序顺序
+        return order                        # 返回拓扑序列
+    
+    def findOrder(self, n: int, edges):
+        # 构建图
+        graph = dict()
+        for i in range(n):
+            graph[i] = []
+        for v, u in edges:
+            graph[u].append(v)
+        
+        return self.topologicalSortingDFS(graph)
 ```
 
 ## 3. 拓扑排序的应用
 
 拓扑排序可以用来解决一些依赖关系的问题，比如项目的执行顺序，课程的选修顺序等。
 
+### 3.1 课程表 II
+
+#### 3.1.1 题目链接
+
+- [210. 课程表 II - 力扣](https://leetcode.cn/problems/course-schedule-ii/)
+
+#### 3.1.2 题目大意
+
+**描述**：给定一个整数 $numCourses$，代表这学期必须选修的课程数量，课程编号为 $0 \sim numCourses - 1$。再给定一个数组 $prerequisites$ 表示先修课程关系，其中 $prerequisites[i] = [ai, bi]$ 表示如果要学习课程 $ai$ 则必须要学习课程 $bi$。
+
+**要求**：返回学完所有课程所安排的学习顺序。如果有多个正确的顺序，只要返回其中一种即可。如果无法完成所有课程，则返回空数组。
+
+**说明**：
+
+- $1 \le numCourses \le 2000$。
+- $0 \le prerequisites.length \le numCourses \times (numCourses - 1)$。
+- $prerequisites[i].length == 2$。
+- $0 \le ai, bi < numCourses$。
+- $ai \ne bi$。
+- 所有$[ai, bi]$ 互不相同。
+
+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+```Python
+输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
+输出：[0,1]
+解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1]。
+```
+
+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
+输出：[0,2,1,3]
+解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
+因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3]。
+```
+
+#### 3.1.3 解题思路
+
+##### 思路 1：拓扑排序
+
+这道题是「[0207. 课程表](https://leetcode.cn/problems/course-schedule/)」的升级版，只需要在上一题的基础上增加一个答案数组 $order$ 即可。
+
+1. 使用哈希表 $graph$ 存放课程关系图，并统计每门课程节点的入度，存入入度列表 $indegrees$。
+2. 借助队列 $S$，将所有入度为 $0$ 的节点入队。
+3. 从队列中选择一个节点 $u$，并将其加入到答案数组 $order$ 中。
+4. 从图中删除该顶点 $u$，并且删除从该顶点出发的有向边 $<u, v>$（也就是把该顶点可达的顶点入度都减 $1$）。如果删除该边后顶点 $v$ 的入度变为 $0$，则将其加入队列 $S$ 中。
+5. 重复上述步骤 $3 \sim 4$，直到队列中没有节点。
+6. 最后判断总的顶点数和拓扑序列中的顶点数是否相等，如果相等，则返回答案数组 $order$，否则，返回空数组。
+
+##### 思路 1：代码
+
+```Python
+import collections
+
+class Solution:
+    # 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
+    def topologicalSortingKahn(self, graph: dict):
+        indegrees = {u: 0 for u in graph}   # indegrees 用于记录所有顶点入度
+        for u in graph:
+            for v in graph[u]:
+                indegrees[v] += 1           # 统计所有顶点入度
+        
+        # 将入度为 0 的顶点存入集合 S 中
+        S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
+        order = []                          # order 用于存储拓扑序列
+        
+        while S:
+            u = S.pop()                     # 从集合中选择一个没有前驱的顶点 0
+            order.append(u)                 # 将其输出到拓扑序列 order 中
+            for v in graph[u]:              # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
+                indegrees[v] -= 1           # 删除从顶点 u 出发的有向边
+                if indegrees[v] == 0:       # 如果删除该边后顶点 v 的入度变为 0
+                    S.append(v)             # 将其放入集合 S 中
+        
+        if len(indegrees) != len(order):    # 还有顶点未遍历（存在环），无法构成拓扑序列
+            return []
+        return order                        # 返回拓扑序列
+    
+    
+    def findOrder(self, numCourses: int, prerequisites):
+        graph = dict()
+        for i in range(numCourses):
+            graph[i] = []
+            
+        for v, u in prerequisites:
+            graph[u].append(v)
+            
+        return self.topologicalSortingKahn(graph)
+```
+
+##### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(n + m)$，其中 $n$ 为课程数，$m$ 为先修课程的要求数。
+- **空间复杂度**：$O(n + m)$。
+
+### 3.2 找到最终的安全状态
+
+#### 3.2.1 题目链接
+
+- [802. 找到最终的安全状态 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/find-eventual-safe-states/)
+
+#### 3.2.2 题目大意
+
+**描述**：给定一个有向图 $graph$，其中 $graph[i]$ 是与节点 $i$ 相邻的节点列表，意味着从节点 $i$ 到节点 $graph[i]$ 中的每个节点都有一条有向边。
+
+**要求**：找出图中所有的安全节点，将其存入数组作为答案返回，答案数组中的元素应当按升序排列。
+
+**说明**：
+
+- **终端节点**：如果一个节点没有连出的有向边，则它是终端节点。或者说，如果没有出边，则节点为终端节点。
+- **安全节点**：如果从该节点开始的所有可能路径都通向终端节点，则该节点为安全节点。
+- $n == graph.length$。
+- $1 \le n \le 10^4$。
+- $0 \le graph[i].length \le n$。
+- $0 \le graph[i][j] \le n - 1$。
+- $graph[i]$ 按严格递增顺序排列。
+- 图中可能包含自环。
+- 图中边的数目在范围 $[1, 4 \times 10^4]$ 内。
+
+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+![](https://s3-lc-upload.s3.amazonaws.com/uploads/2018/03/17/picture1.png)
+
+```Python
+输入：graph = [[1,2],[2,3],[5],[0],[5],[],[]]
+输出：[2,4,5,6]
+解释：示意图如上。
+节点 5 和节点 6 是终端节点，因为它们都没有出边。
+从节点 2、4、5 和 6 开始的所有路径都指向节点 5 或 6。
+```
+
+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：graph = [[1,2,3,4],[1,2],[3,4],[0,4],[]]
+输出：[4]
+解释:
+只有节点 4 是终端节点，从节点 4 开始的所有路径都通向节点 4。
+```
+
+#### 3.2.3 解题思路
+
+##### 思路 1：拓扑排序
+
+1. 根据题意可知，安全节点所对应的终点，一定是出度为 $0$ 的节点。而安全节点一定能在有限步内到达终点，则说明安全节点一定不在「环」内。
+2. 我们可以利用拓扑排序来判断顶点是否在环中。
+3. 为了找出安全节点，可以采取逆序建图的方式，将所有边进行反向。这样出度为 $0$ 的终点就变为了入度为 $0$ 的点。
+4. 然后通过拓扑排序不断移除入度为 $0$ 的点之后，如果不在「环」中的点，最后入度一定为 $0$，这些点也就是安全节点。而在「环」中的点，最后入度一定不为 $0$。
+5. 最后将所有安全的起始节点存入数组作为答案返回。
+
+##### 思路 1：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    # 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
+    def topologicalSortingKahn(self, graph: dict):
+        indegrees = {u: 0 for u in graph}   # indegrees 用于记录所有节点入度
+        for u in graph:
+            for v in graph[u]:
+                indegrees[v] += 1           # 统计所有节点入度
+        
+        # 将入度为 0 的顶点存入集合 S 中
+        S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
+        
+        while S:
+            u = S.pop()                     # 从集合中选择一个没有前驱的顶点 0
+            for v in graph[u]:              # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
+                indegrees[v] -= 1           # 删除从顶点 u 出发的有向边
+                if indegrees[v] == 0:       # 如果删除该边后顶点 v 的入度变为 0
+                    S.append(v)             # 将其放入集合 S 中
+        
+        res = []
+        for u in indegrees:
+            if indegrees[u] == 0:
+                res.append(u)
+        
+        return res
+        
+    def eventualSafeNodes(self, graph: List[List[int]]) -> List[int]:
+        graph_dict = {u: [] for u in range(len(graph))}
+
+        for u in range(len(graph)):
+            for v in graph[u]:
+                graph_dict[v].append(u)     # 逆序建图
+
+        return self.topologicalSortingKahn(graph_dict)
+```
 
+##### 思路 1：复杂度分析
 
+- **时间复杂度**：$O(n + m)$，其中 $n$ 是图中节点数目，$m$ 是图中边数目。
+- **空间复杂度**：$O(n + m)$。
diff --git a/Contents/08.Graph/02.Graph-Traversal/06.Graph-Topological-Sorting-List.md b/Contents/08.Graph/02.Graph-Traversal/06.Graph-Topological-Sorting-List.md
@@ -2,6 +2,7 @@
 
 | 题号 | 标题 | 题解 | 标签 | 难度 |
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+| 0207 | [课程表](https://leetcode.cn/problems/course-schedule/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0207.%20%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E8%A1%A8.md) | 深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序 | 中等 |
 | 0210 | [课程表 II](https://leetcode.cn/problems/course-schedule-ii/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0210.%20%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E8%A1%A8%20II.md) | 深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序 | 中等 |
 | 0802 | [找到最终的安全状态](https://leetcode.cn/problems/find-eventual-safe-states/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0802.%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E7%BB%88%E7%9A%84%E5%AE%89%E5%85%A8%E7%8A%B6%E6%80%81.md) | 深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序 | 中等 |
 | 0851 | [喧闹和富有](https://leetcode.cn/problems/loud-and-rich/) | [Python](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Solutions/0851.%20%E5%96%A7%E9%97%B9%E5%92%8C%E5%AF%8C%E6%9C%89.md) | 深度优先搜索、图、拓扑排序、数组 | 中等 |
